var libraryLetter = ["book", "car", "bank", "near", "between", "map", "dog"];
        var userLetter = prompt("Укажите букву");

        for (var i = 0; i < libraryLetter.length; i++) {            
            if(libraryLetter[i].indexOf(userLetter) == 0){
                    console.log("Совпадение " + libraryLetter[i]);
               }else {
                       console.log("Совпадений не найдено");
                        }
        };

(libraryLetter[i].indexOf(userLetter) == 0)
Это индекс найденного совпадения, если индекс равен 0 то это значит что libraryLetter[i] начинается с userLetter