Владимир Папин

Подставляй значения и станет понятнее

var array = [1,2,3,4,5,6,7,8];
    for (var i = 0; i < 4 /*(8 / 2)*/; i++) {
        array[0] = [array[0],array[array.length - 0 - 1]];
        array[array.length - 0 - 1] = array[0][0];
        array[0] = array[0][1];
     }
// Следующая итерация i = 1, i < 4 -> да 
        array[1] = [array[1],array[array.length - 2]];
        array[array.length - 2] = array[1]0];
        array[1] = array[1][1];
// Следующая итерация i = 2, i < 4 -> да 
         array[2] = [array[2],array[array.length - 3]];
        array[array.length - 3] = array[2]0];
        array[2] = array[2][1];
// Следующая итерация i = 3, i < 4 -> да 
         array[3] = [array[3],array[array.length - 4]];
        array[array.length - 4] = array[3]0];
        array[3] = array[3][1];
// Следующая итерация i = 4, i < 4 -> нет, выходим из цикла 
 document.write(array);

var libraryLetter = ["book", "car", "bank", "near", "between", "map", "dog"];
        var userLetter = prompt("Укажите букву");

        for (var i = 0; i < libraryLetter.length; i++) {            
            if(libraryLetter[i].indexOf(userLetter) == 0){
                    console.log("Совпадение " + libraryLetter[i]);
               }else {
                       console.log("Совпадений не найдено");
                        }
        };

(libraryLetter[i].indexOf(userLetter) == 0)
Это индекс найденного совпадения, если индекс равен 0 то это значит что libraryLetter[i] начинается с userLetter