vigaset12

Потому что .comments__message является не следующим сиблингом, а потомком для .comments__item.
Соответственно, нужен не .next(), а .find().

JSON.parse

для того чтобы удалить конкретный комментарий, нужно передавать его id, ну и тогда запрос будет:

DELETE FROM `comments` 
WHERE `user_id` = :user_id 
and `id` = :comment_id

Кроме того, в куках держать айди пользователя нельзя (я спокойно могу напихать в свои куки любой айди и рулить всеми доступами рандомного пользователя). Для этого есть сессии. Так же, для удаления комментариев лучше использовать специальное поле, отвечающее за статус комментария, меняя его на (условно) "удален".

Так же, для таких случаев лучше подходит яваскрипт и аякс запросы, чем перезагрузка страницы формой.