Законно ли выкладывать на сайте скриншоты из видео?
Любой авторский материал - неважно, фото это или видео, или текст можно использовать( в том числе и выкладывать на сайте) только с разрешения автора.
Если вам автор разрешил - значит вы ничего не нарушаете все законно.
Если вам автор не разрешал (например вы вообще его не спрашивали) - вы нарушаете закон. А за нарушение закона предусмотрена ответственность.
Но тут есть один тонкий момент - незаконно, это еще не значит что вас накажут.
Вот например по закону дорогу надо переходить в строго определенных местах, если вы переходите проезжую часть в неположенном месте, вы нарушаете закон. Это незаконно. И вас могут наказать.
Но тысячи людей ежедневно переходят дорогу в неположенном месте, и их не наказывают. Почему?
Да потому что не поймали!
С авторским правом точно так же - выложили без разрешения, значит нарушаете.
Если поймают - накажут. Не поймают - не накажут.
на своем веб-сайте без указания источника или автора видео-материала?
Указание источника никак не влияет на законность использования. Тут важно только разрешение автора (правообладателя).
Если у вас нет разрешения - вы нарушаете, и не важно что вы там указываете или не указываете.
Если у вас есть разрешение - вы не нарушаете, и не важно указывали вы или нет.