usica

Ошибка здесь:

<Route exact path="/" component={() => (<PageIndex input={this.state.input} f={this.handleChange} /> )}/>

Правильно так:

<Route exact path="/" render={props => <PageIndex input={this.state.input} f={this.handleChange} />} />

Спасибо за ответы.
Напишу решение, вдруг кому-то пригодится:

app:
<Content name={this.state.name} changeName={this.changeName} /> //здесь как обычно

content:
const Content = (parameters) => {
  return (
    <Switch>
      <Route exact path="/" component={() => (
            <PageIndex  parameters={parameters}/> )}/>//вот как передавать инфу
      
      <Route path="/cart" component={() => (
            <PageCart  parameters={parameters}/> )}/>
    </Switch>
  )
}

PageIndex:
const PageIndex = (parameters) => {
	let p = parameters.parameters;
	console.log(p.name);//данные переданы
}

Как-то так.

Непонятно, почему в конце оказалось parameters.parameters, но с этим уже легче разобраться.

<ul class="nav navbar-nav">
 <li class='fake'><a href='parentlink'>Ссылка</a></li>
  <li class="dropdown">
 <a class="dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" aria-expanded="true" href="parentlink">Ссылка<span class="caret"></span></a>
...
</li>

 <li class='fake'><a href='parentlink2'>Ссылка2</a></li>
  <li class="dropdown">
 <a class="dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" aria-expanded="true" href="parentlink2">Ссылка2<span class="caret"></span></a>
...
</li>

Класс fake сверстать так, чтобы находился поверх следующего li class="dropdown", но не его каретки.
Тогда при клике на текст ссылки будет переход по ссылке, при клике на каретку - раскрытие дочернего меню.

<li class='fake'><a href='parentlink'>Ссылка</a></li>

лучше добавлять через JS, тогда на этапе разработки не будет проблем с дублированием ссылок.