DOM элемент должен иметь уникальное значение ID, в Вашем случае, есть некоторый элемент с ID="surgeon". Вставляя в него input укажите новый ID, как пример: surgeon_N где N - это целое число.
Так же если я верно понимаю, то Вы хотите указать несколько полей с name="surgeon". Для того, что бы они корректно (массивом) ушли на сервер, необходимо указать, name="surgeon[]" - квадратные скобки указывают на принадлежность к массиву.
Если хотите оставить такой подход, как описан у Вас, то можно переделать на такое:
var n=2;
function add_surgeon(){
var id = 'surgeon_' + n;
document.getElementById('surgeon').innerHTML+='<div id="' + id + '"><input style="width: 100%" name="surgeon[]" type="text" /></div>';
n++;
}
function remove_surgeon(){
var id = 'surgeon_' + (n - 1);
document.getElementById(id).remove();
--n;
}
Обёртка в div нужна для того, что бы убрать зависимость от
который тоже придётся убирать.
В свою очередь хочу указать, что += является укороченным вариантом для конкатенации строк, и обратного (удаления) не предусмотрено.
