Сергей П

Извлекаете с помощью overpass turbo необходимые вам данные. Если объём отфильтрованных данных получится небольшим (а тут уж всё зависит от того, какой объём вам-таки нужен), то можете выгрузить всё в GeoJSON и отображать его на каком-нибдуь leaflet или аналогичных виджетах. Можно пойти инфм путём, и отренедрить себе карту в тайлы, которые можно положить локально и отображать таким же виджетом, но у уже в виде растра. Если вам нужна более насыщеная геоданными карта, то, возможно, этот формат будет даже компактнее и проще.
Если у вас есть опыт в ГИС, то для вас не составит труда разобраться с overpass turbo, для остального нужны навыки программирования на js.

Ваш вопрос не по профилю ресурса.
С таким нулевым пониманием темы вам вряд ли удастся решить эту задачу. Лучше сходить к фрилансерам, поскольку спектр производных задач, которые придётся решать в рамках этой, очень велик.

Для начала вам придётся достать границы или полигоны районов Москвы. Сделать это можно из БД OpenStreetMap с помощью инструмента Overpass Turbo.
Получить их можно сразу в GeoJson, чтобы отобразить на каком-нибудь картографическом виджете вроде Leaflet или аналогичных.
Нужно будет закодить обработчики событий клика и хинта. В полигонах у вас уже будет тег с идентификатором района, нужно чтобы в отображаемом датасете были те же идентификаторы, или их придётся мапить отдельным скриптом.

Если вам не понятно что-то из этого даже после продолжительного гугления, то стоит, всё же, сходить к фрилансерам, или забить на эту задачу, поскольку вам её решать рано.

В QGIS можно сделать самую обычную карту как с нуля, так и взяв куски из OSM.

Что вы имеете в виду под "нормальным распределением в окрестности радиусом..."? Нормальное распределение задается мат-ожиданием (это у нас центр) и дисперсией. Это не значит, что наша случайная величина (точка) не выйдет за пределы этой вашей окружности, если под ее радиусом вы и понимаете дисперсию.
А если нет, то правильно ли я понимаю, что вашу задачу можно переформулировать так:
Получить случайную точку на геоиде с заданным мат-ожиданием и диспеорсией, которая (точка) лежит в заданном радиусе. То есть брать случайные точки по заданному закону распределения пока не встретится такая, которая внутри окружности?

Окружность в контексте нормального распределения все запутывает.
Ещё не описано что делать на больших радиусах. Если речь только омалых радиусах, то можно работать с проекцией, например мерактором и с декартовыми координатами, как вы сами сказали.
Если принципиально, то вы правильно говорили про полярные координаты. Равномерным распределением выбираем азимут точки от заданного центра, а нормальным распределением расстояние по модулю и ищем формулы, которые прибавят вам заданный полярными координатами вектор к гео-точке.

Питон тут ни при чем.