tr1ck

Если вы про цикл for внутри функции f, то конечно он всегда будет считать одно и то же S, просто потому что при i = 0, вы считаете n = 1, далее y = 0 и соответственно Y = 0 отсюда и для всех дальнейших итераций цикла, соответственно вы к S всегда прибавляете 0, т. е. S независимо от числа итераций == 1.

А это у вас возможно и не ряд Тейлора :)
Потому что в формуле Тейлора в знаменателе стоит n!, а в вашей формуле 2^n -- знаменатель растет значительно медленнее.

Ряд тейлора:


Полагайте что a=0.
И попробуйте найти значения производных для каждого члена ряда Тейлора.
Далее составьте табличку, может она вам поможет найти нужную формулу выражающую значение производной от n.

Как минимум f'''(0) = 0 у вас.