supkiler

Элементарно. Рекурсивно вызывать getStringCount и суммировать возвращённые значения.

function getStringCount(obj) {
  let countString = 0;
  for (let i in obj) {
    if (typeof obj[i] === "object") {
      countString += getStringCount(obj[i]);
    } else if (typeof obj[i] === "string") {
      countString += 1;
    }
  }
  return countString;
}