stul5tul

Почти везде показано, что если, к примеру, брать PHP, то его можно встраивать сразу в HTML

Мало ли что там "почти везде показано".
Почти все примеры кода в интернете - существенно упрощены для вящего понимания.
Эти примеры нужно использовать с умом.

Типично:
Реальный код содержит кучу проверок на возможные ошибки.
Если использовать такой полноценный рабочий код в качестве примера - то неофиты просто не поймут где там главная мысль, что именно хотел сказать автор. Всевозможные проверки, которые на каждом шагу в реальном коде, просто рассеят их внимание и отвлекут от главного.

Поэтому практически во всех примерах нет этих проверок на ошибки.
Но это не значит, что в реальности эти проверки делать не нужно.

Так вот, собственно, какой все таки метод правильный - писать PHP прям в HTML, или же, все таки, использовать PHP как API сайта, и посылать к нему запрос от JS?

Нет безусловно правильного метода.

Если вы будете писать полноценное API для мелкого проекта - вы существенно затяните сроки и стоимость своих работ. А это полноценное API и не нужно будет.

Ну и наоборот. Писать сложный проект, мешая в одном файле JS/PHP/HTML - будет просто неудобно поддерживать и развивать по мере разрастания проекта.

Выбор правильного решения в том или ином случае - как раз показатель вашей квалификации.

Освойте просто все методы.

Человека не учат. Человек учится сам. Ничего принципиального тут за последние десятки тысяч лет человечество не придумало.
В ВУЗе могут только подсказать, направить, обратить внимание и дать обратную связь.

Если ты надеешься, что придешь в ВУЗ и "пусть меня научат" выйдешь готовым программистом - это неверно. Ты выйдешь из ВУЗа только заготовкой программиста.

Что до конкретно ВУЗа - нет ничего такого в web-программировании, для чего нужно было бы специфическое 4-х летние ВУЗовское обучение.

За 4 года ты выйдешь из ВУЗа обычным трейни (это до джуна, а джун это еще до миддла).

За тех же 4 года, потраченных на реальную работу в реальных фирмах, где есть опытные коллеги (это важно), что подскажут и дадут обратную связь - ты пройдешь за 4 года трейни-джуна и станешь миддлом буквально через год-два после окончания ВУЗа. И не "называться миддлом", ибо бывает что и когда и сеньора дают запросто выпускникам. А настоящим крепким миддлом.

ВУЗовский диплом нужен только для гос.контор и для получения рабочей визы.

P.S.:
Лучшие по ИТ ВУЗы страны имеет смысл закончить. Но нужно отдавать себе отчет, что то, что эти ВУЗы дадут - не нужно именно что веб-программисту. Для какой другой программистской специализации - да, может быть и нужно. Но не для веба.

Средние и плохие по уровню ВУЗы страны - имеет смысл ради диплома, который нужен для чего см. выше.

P.P.S.:
У автора этих строк есть высшее профильное образование.
Не жалею - хорошо проводили время с однокурсниками и особенно с однокурсницами.
Но непосредственно по профессии - пользы образование не дало, хоть и профильное.