Doit

Можно сделать глобальный словарь данных (в данном простом случае только для ветра, но можно и все похожие данные в таком виде записывать), в который записывать данные по городу. Затем при нажатии кнопки "Ветер" просто брать уже готовые данные из этого словаря.

# на верхнем уровне объявляем наш словарь
wind_info = {}

...
    elif w1 > 33:
        w_info = 'Огромные разрушения, серьезно повреждены здания, строения и дома, деревья вырваны с корнями, растительность уничтожена.'
# после определения w_info заносим эти данные в наш словарь
    wind_info[message.text] = w_info # т.к. message.text это наш город (вообще хорошо бы его сразу в отдельную переменную выделять, так код проще читается)

Но нам нужно в колбеке для ветра как-то указать, по какому городу хотим получить информацию о ветре. Мы можем сам город передать в колбеке

item_wind = types.InlineKeyboardButton(text = 'Ветер', callback_data = f'wind_{message.text}')

а затем его извлечь в самом колбеке
вместо старого
elif call.data == 'wind':
обрабатываем колбек вида "wind_Москва"

elif call.data.startswith('wind'):
        # извлекаем название города
        city = call.data.split('_',1)[1]
        # и берем нашу информацию из словаря данных по ветру
        w_info = wind_info[city]
        bot.send_message(call.message.chat.id, w_info)

winddirections = ("северный", "северо-восточный", "восточный", "юго-восточный", "южный", "юго-западный", "западный", "северо-западный")
direction = int((degrees + 22.5) // 45 % 8)
print(winddirections[direction])

Использовать конструкцию try - except.
Рабочий код:

import telebot
import pyowm

owm = pyowm.OWM('key', language = "ru")
bot = telebot.TeleBot('token')

@bot.message_handler(content_types=['text'])
def send_echo(message):
	try:
		observation = owm.weather_at_place( message.text )
		w = observation.get_weather()
		temp = w.get_temperature('celsius')["temp"]
		hum = w.get_humidity()
		time = w.get_reference_time(timeformat='iso')
		wind = w.get_wind()["speed"]

		answer ="В городе " + message.text + " сейчас " + w.get_detailed_status() + "\n"
		answer += "Температура сейчас в районе " + str(temp) + "\n\n" + "\nСкорость ветра: " + str(wind) + "м/с" + "\n" + "\nВлажность: " + str(hum) + "%" + "\n" + "\nВремя: " + str(time) + "\n"

		if temp < 11:
			answer += "Сейчас очень холодно."
		elif temp < 20:
			answer += "Сейчас прохладно, лучше одеться потеплее."
		else:
			answer += "Температура в норме!"

		bot.send_message(message.chat.id, answer)
	except:
		bot.send_message(message.chat.id,'Ошибка! Город не найден.')
bot.polling( none_stop = True)
input()