Станислав

Вообще, тут нужно понимать, что все подобные задачи в Gulp решаются как правило за счет тех или иных плагинов для него. Так, конкретно для вашей задачи подойдет плагин gulp-modify-css-urls. Сначала вам необходимо установить его:
npm install --save-dev gulp-modify-css-urls
Параметр --save-dev укажите, если хотите, чтобы эта зависимость прописалась в ваш package.json в раздел dev. После этого вы можете модифицировать пути в файлах css с помощью примерно такого кода (взят из доков этого плагина):

var gulp = require('gulp')
  , modifyCssUrls = require('gulp-modify-css-urls');
 
/* style.css
body {
  background-image: url('images/logo.png');
}
*/
gulp.task('modifyUrls', function () {
  return gulp.src('style.css')
    .pipe(modifyCssUrls({
      modify: function (url, filePath) {
        return 'app/' + url;
      },
      prepend: 'https://fancycdn.com/',
      append: '?cache-buster'
    }))
    .pipe(gulp.dest('./'));
});
/* style.css
body {
  background-image: url('https://fancycdn.com/app/images/logo.png?cache-buster');
}
*/

В коде вроде бы все понятно прокомментировано, но если что, спрашивайте уточнение. В целом же, есть вариант и сразу писать LESS-файлы таким образом, чтобы потом не приходилось их редактировать. Но это, конечно, дело вкуса, да и так не слишком удобно разрабатывать код, конечно.

вообще composer для php

Нет, но в целом это верное решение, не использовать его для подобных целей, если только не будете внимательно следить за зависимостями.

видимо нужно создавать npm-пакеты, но тут уже я потерялся, пытаясь понять, как это для веб оформить

Тоже неверное решение, так как для таких целей использовать данный инструмент - все равно что стрелять из пушки по воробьям.

вынести некоторые части js кода в отдельные пакеты, чтобы потом использовать в других проектах

Еще раз по предыдущим пунктам - composer действительно собирает в основном для бекенда (условно движок), хотя и им можно забивать гвозди. NPM собирает для скорее опять же каких-то нужд бекенда, в том числе административных, например, через него ставится Bower. В том числе потому, что у него для каждого пакета в его папку подтягиваются все его зависимости, каждый раз для каждого пакета, даже если пакеты, от которых они зависят, являются общими.

А вот тот же Bower можно и нужно использовать для подтягивания пакетов для фронта. Elixir, laravel-mix - это все сборщики, как и тот же Gulp, они занимаются не установкой пакетов, а их преобразованием - например, минифицируют и конкатенируют файлы стилей или скриптов, это совершенно иные задачи.

Поэтому я бы вам предложил использовать Bower, но, опять же, не публиковать для него свои пакеты в общем доступе, если только они не имеют ценности для всего сообщества в целом (смысл загрязнять общую эко-среду), а использовать ваш личный Github или какой угодно другой ваш публичный сервер/etc. Подробнее о том, как устанавливать пакеты не из общего репозитория можно прочитать тут, но в целом там совсем всё просто:

# Git endpoint
$ bower install git://github.com/user/package.git
# URL
$ bower install http://example.com/script.js