Как лучше обработать данные JSON с JS?

получаете JSON через:
$.getJSON(url, data, function(data) {
// data - это и есть полученный и распарсенный JSON, т.е. обычный объект javascript
});

Как можно задать условие в js для отключения класса, если юзер зашел через Mozilla?

вот так:
function isFirefox() {
return navigator.userAgent.toLowerCase().indexOf('firefox') != -1;
}
if (isFirefox()) {
document.getElementsByClassName("CLASS_NAME").classList.remove("CLASS_NAME");
}

Как можно задать условие в js для отключения класса, если юзер зашел через Mozilla?

Нет, это просто функция, которая определяет используется браузер Firefox или нет. А полное решение приведено @t-alexashka .

Как в nginx сделать перенаправление с одного url на другой?

а если вместо rewrite вставить: return 301 http://newsite.ru$request_uri;