Sergey Bro

...
if ($send == 'true')
...

Почему вы сравниваете со строкой "true", когда функция возвращает булево значение true?
И зачем это, если вросто хотите вывести сообщение в попапе?
http_response_code(403);

Типа защита от спама такая?
Для этого можешь пихнуть гогольКапчу в форму.
Contact Form 7 поддерживает 3ю версию, которая не показывает кнопку "я не робот"

Нашел "временное" решение (до обновления Contact Form 7)
В файле /wp-content/plugins/contact-form-7/includes/js/scripts.js из переменной $message удалил второй параметр

Сообщения начали отображаться.
Почему так - не знаю, я не силен в js и разбираться особо не хочется.

До кучи перенес стили "удачной отправки"

Это решение изменяет цвет "успешной отправки" на зеленый после неудачной (желтой рамки).

Почему-то у меня тож не получилось подключить InputMask (в силу своего незнания).
Но зато получилось подключить MaskedInput:
https://github.com/digitalBush/jquery.maskedinput
Для телефона вставил только:

jQuery(function($){
   $("#phone").mask("+7 (999) 999-9999");
});