shadowalone

Если можете подключаться к mysql удаленно, то пойдет тот же mysqldump.
Но проще делать дамп локально, а потом уже тянуть, тем же rsync

Посмотрите в сторону какой-нить бесплатной панели управления, типа ISPconfig

Если версии MySQL идентичны на обоих серваках, и одинаковые OS, то просто скопируйте /var/lib/mysql полностью с одного на другой, и никаких проблем.