sdfdgfhgfh

Вы можете сделать сколько угодно конекшин стрингов в настройках, у каждого свое имя. Сделайте абстракцию над подключением к бд, туда будете передавать имя конекшина и работайте с методами этой абстракции уже.

В простом виде это примерно так

<connectionStrings>
  <add name="DB1Connection" connectionString="data source=(local);initial catalog=myDB1;" />
  <add name="DB2Connection1" connectionString="data source=(local);initial catalog=myDB2;" />
  <add name="DB3Connection1" connectionString="data source=(local);initial catalog=myDB3;" />
</connectionStrings>

connectionStringName = "DB3Connection1";

public class MyDbContext : DbContext
{
	public MyDbContext(string connectionStringName) : base(connectionStringName)
	{	}
}

Если схемы баз один одинаковые, то достаточно одного класса контекста

Как только пользователь тыкнул на другой сервер, Вы разлогинили его, создали новый конекшин и залогинили его по новой, но в выбранном контексте и перегрузили страницу.

Слишком мало данных. Где схемы моделей?
В теории, как вы можете логировать свои получения, сохраняя сколько и от кого.

Ну и потом просто подсчитать в нужный момент: сколько и от кого (группировка от кого и сумма по значению, к примеру), и, если ваше условие выполнено, то проставить тем, от кого пришло свои +5.