сторонние сайты не могут обмениваться информацией из-за безопасности.
Копните в сторону расширений гугл хрома, возможно, получится сделать кастыльное решение.
То есть, на сайте 1 расширение подписывается на нажатие на кнопку и сохраняет нужные данные в промежуточное хранилище. Это может быть IndexedDB, если не ошибаюсь или воркер - надо смотреть, есть ли там доступ с разных доменов.
Затем, при заходе на сайт 2 (открыть можно принудительно) расширение должно проверить доступные данные и сможет заполнить поля ввода
