После очистки cookie проблема действительно прекращается, а появляется она у вас снова потому, что код на редирект best.aliexpress.com встроен в кнопку «Войти» на сайте. Когда вы переходите по ней зловредный cookie снова появляется. Если вы очистите куки и авторизуетесь по прямой ссылке login.aliexpress.com, то проблема не появится.

Вот так примерно выглядит ссылка нормальной кнопки "Войти":

https://login.aliexpress.com/express/mulSiteLogin.htm?return=https%3A%2F%2Fwww.aliexpress.com%2F&from=lighthouse

Вот так зараженной:

https://login.aliexpress.com/express/mulSiteLogin.htm?spm=a2g0v.search01030.1010002.7.2aee5a52jCzG6n&return=https%3A%2F%2Fru.aliexpress.com%2Fwholesale%3FcatId%3D0%26initiative_id%3DSB_20190206001458%26SearchText%3D%25D1%2581%25D0%25B2%25D0%25B5%25D1%2582%25D0%25BE%25D0%25B4%25D0%25B8%25D0%25BE%25D0%25B4%25D0%25BD%25D1%258B%25D0%25B9%2B%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25B7%25D1%258A%25D0%25B5%25D0%25BC&from=lighthouse

Какое браузерное расширение или вирус подменяет код в кнопке «Войти» или же это делает сам AliExpress я не проверял. Но обычно чаще всего у людей появляется эта страница после того, как они начинают пользоваться всякими кэшбэк-сервисами, типа LetyShops.

Вкладка Обзор (Review) => Выбрать язык (Set Language) => и выбрать из списка Русский язык. Перестанет подчёркивать красными линиями.

А чтобы еще и на правописание проверял, есть инструкция как сделать это с помощью макросов, задействовав проверку правописания из Word'a.