Под все критерии подходит
https://azilus.ru
* веб-интерфейс (работает как на ПК, так и на телефонах);
* возможность прикреплять файлы к сообщениям;
* при отсутствии оператора сообщение с вложением уходит на почту (настройка отображения оффлайн формы виджета);
* всё это бесплатно (есть как
платный, так и
бесплатный тариф, который
неограничен по времени);