Решил проблему. Если кто будет искать, то вот решение:
«стандартный» модуль Апач "prefork" не очень совместим с HTTP/2, поэтому Вам нужно использовать более подходящий. Выключаем один, включаем другой, перезагружаем Apache.
sudo a2dismod mpm_prefork
sudo a2enmod mpm_event
service apache2 restart