1. Для инициации перехода на новый роут без перезагрузки страницы, следует вызывать:
this.props.history.push('/user');
2. И справьте первый route на:
<Route exact path="/" component={Form} />
Если используете свойство render(в вашем случае в этом нет смысла), то передавайте аргументом свойства роутера:
<Route exact path="/" render={routeProps => <Form {...rotueProps} />} />
3. Никакой redux-router вам не нужен.
4. Не ленитесь изучать возможности библиотек с которыми работаете. Нативные ссылки не имеют никакого отношения к роутеру вашего приложения. Советую изучить исходный код всех компонентов библиотеки react-router-dom. Так у вас хоть будет понимание того как он работает.
5. Вы закомментили вызов
const state = createStore();. Верните обратно.
6. Уберите из проекта JQuery. Для AJAX запросов используйте axios/superagent/fetch.
7. Запросы к API по-хорошему выполнять в redux middleware. Советую использовать redux-thunk
