Максим Федоров

использование именованных поведений позволяет:
1. Откреплять по необходимости поведения от компонента c помощью функции detachBehavior
2. Работать с поведением в классах-потомках (например, изменять конфигурацию поведения и т.п.)
3. Получать собственно сам объект поведения и при необходимости с ним работать

У Вас и не может произойти обновление формы - потому что Вы его не делаете на клиентской стороне.
Сейчас Вы:
1. Сохраняете модель
2. Рендерите _form
3. Отправляете результат рендеринга на клиент, но на клиенте Вы этот результат по всей видимости никак не обрабатываете и не отображаете.

Соответственно Вам нужно:
1. Либо писать JS скрипт который будет обрабатывать ответ от сервера и заменять форму на него. Только в этом случае не вижу смысла использовать renderPartial для вывода одной строки текста, т.к. этот функционал можно реализовать на уровне JS
2. Либо копать в сторону PJAX
3. Либо реализовать обработку данных, как написал slo_nik

в этом коде на первый взгляд все в порядке. Ищите проблему в самих реляциях

по сути дела Вам нужно вычислять агрегируемые поля. Этот вопрос подобно описан в документации, например здесь

при использовании жадной загрузки у Вас всегда будет идти один дополнительный запрос на загрузку реляции (без разницы будете использовать with или joinWith) ведь фреймворку нужно как-то загрузить объекты реляции. Другой вопрос насколько критичны для Вашей системы такие запросы и насколько Ваша архитектура позволяет от них избавиться. Если у Вас в проекте используется одна БД и наличие дополнительных запросов слишком критичны используйте обычный join

1. Возьмите уже готовый плагин для Yii2 и установите в систему, ибо делать что-то свое с нуля - это изобретения велосипеда
2. Отнаследуйте установленный плагин на уровне класса (грубо говоря это будет Ваша модификация)
3. В своей модификации плагина установите для JS-плагина в свойство setup (при инициализации):

setup: function (editor) {
    editor.addButton('mybutton', {
      text: 'My button',
      icon: <url-to-icon>,
      onclick: function () {
        editor.insertContent('&nbsp;<b>It\'s my content!</b>&nbsp;');
      }
    });
  },

Например для этого готового виджета последний пункт можно реализовать так:

use dosamigos\tinymce\TinyMce;
 

<?= $form->field($model, 'text')->widget(TinyMce::className(), [
    'options' => ['rows' => 6],
    'language' => 'es',
    'clientOptions' => [
        'plugins' => [
            "advlist autolink lists link charmap print preview anchor",
            "searchreplace visualblocks code fullscreen",
            "insertdatetime media table contextmenu paste"
        ],
        'toolbar' => "undo redo | styleselect | bold italic | alignleft aligncenter alignright alignjustify | bullist numlist outdent indent | link image",
        'setup' => // тут JS код указанный в пункте 3
    ]
]);?>

в данной реализации не как. Yii2 осуществляет сортировку на уровне SQL. Соответственно для сортировки Вам нужно в запросе получения данных формировать с помощью агрегатных функций указанное поле, а уже потом по нему сортировать

используйте для этих целей ExistValidator

Настройки XmlResponseFormatter можно указать в конфигурации приложения, например так:

'components' => [
    'response' => [
        'formatters' => [
            'xml' => [
                'class' => '\yii\web\XmlResponseFormatter',
                'rootTag' => 'mytag'
            ]
        ],
    ],
],

любые настройки письма можно задавать через свойство messageConfig, например:

'mailer' => [
    'class' => 'yii\swiftmailer\Mailer',
    'transport' => [
        'class' => 'Swift_SmtpTransport',
        'host' => 'smtp.yandex.ru',
        'username' => 'myname@yandex.ru',
        'password' => 'mypassword',
        'port' => '465',
        'encryption' => 'SSL',
    ],
    'messageConfig' => [
        'from' => ['noreply@site.com' => 'Site Name'],
    ],
],

лишние запросы вызваны тем что Вы используете отложенную загрузку, а для вывода данных в грид лучше использовать жадную загрузку в частности joinWith

Вид ссылки backend.alf.loc/catalog/update/1 являются более удобным для конечного пользователя. В yii2 можно привести ссылки к любому необходимому виду с помощью UrlRule, подробнее о этом можно почитать здесь https://github.com/yiisoft/yii2/blob/master/docs/g...

В стандартном GridView такого функционала нет. Напишите свой обработчик на jQuery который будет:
1. Ловить клик на конкретную строку таблицы
2. Искать чек-бок соответствующий строке
3. Собственно чекать его

При переходе на другую страницу Вы посылаете запроса (request) к веб-серверу в котором содержится вся информация в том числе и установленные ранее куки. Но для чтения кук Вы используете не request а ОТВЕТ от сервера (response). Соответственно решение Вашей проблемы - использовать объект request
$cookies = Yii::$app->request->cookies;

Код приведенный Вами на первый взгляд корректен и в нем не содержится ошибок. Ищите ошибку в другом месте - через поиск в IDE найдите место где определяется этот параметр

если Вы в каждом экшене проверяете с помощью can, для решения этой проблемы есть два варианта:
1. Проверять доступ к экшену с помощью AccessControl на уровне контроллера/модуля, например:

public function behaviors()
{
    return [
        'access' => [
            'class' => AccessControl::className(),
            'rules' => [
                [
                    'allow' => true,
                    'actions' => ['index'],
                    'roles' => ['nameAction'], // тут указываем название Permission
                ],
            ],
        ],
    ];
}

этот вариант конечно не особо автоматизирует проверку т.к. все равно вручную необходимо прописывать какому экшену какой Permission соответствует, но зато делает код менее зависимым.
2. Проверять доступ к экшену до выполнения экшена на уровне beforeAction контроллера (или его родителя), например:

public function beforeAction($action)
{ 
    if (parent::beforeAction($action) === false) {
        return false;
    }
    if (Yii::$app->user->can($this->module->id . '.' . $this->id . '.' . $action->id)) {
        return true;
    } else {
        throw new \yii\web\ForbiddenHttpException();
    }    
}

Соответственно при таком подходе Permission должны иметь названия в формате "<название модуля>.<название контроллера>.<название экшена>"