Максим Пономарев

клонируете репозиторий как bare куда угодно (не обязательно в /var/www/site.ru/)

git clone --bare <GitHub-URL> /var/www/site.ru/<git-repo>/

Затем pull'ите указывая каталоги: репозитория (--git-dir) и рабочий (--work-tree)

git --git-dir /var/www/site.ru/<git-repo>/ --work-tree /var/www/site.ru/public_html pull

Подбробнее
man git
/--git-dir
/--work-tree

З.Ы.

и в репозиторий попадали не сами папки, а их содержимое

а вот этого не понял
Вы собираетесь с серверов коммиты делать?