dataType: 'json'
то нельзя делать кросс-доменные запросы. Ошибка сразу вылезает: XMLHttpRequest cannot load https://api.telegram.org/botМОЙ_ТОКЕН/getMe. No 'Access-Control-Allow-Origin' header is present on the requested resource. Origin 'mysite.ru' is therefore not allowed access.