Поднимал недавно такой проект.
Если вкратце то:

1. Виджет из браузера отправляет запрос на веб сервер с сайтом.
2. Сайт отправляет запрос на сервер с астериском.
3. На сервере(астер) крутится php скрипт с подключенной библиотекой phpagi, данный скрипт инициирует выполнение на астере команды Originate (voip.rus.net/tiki-index.php?page=Asterisk+Manager+...

Данная команда служит для соединения 2-х абонентов. Т.е. при ее вызове астер звонит "первому", если "первый" поднял трубку то совершается звонок "второму", а первый в это время слышит гудки - так как будто "первый" сам позвонил "второму"

Для ваших задач простенького офисного системника c ubuntu(debian) и астером (простым диалпланом) за глаза

Вот как то так.
Если нужно подробнее обращайтесь