Идея проста, ты должен получить экземпляр класса Controller
FXMLLoader fxmlLoader = new FXMLLoader(бла бла бла бла);
Controller controller = (Controller) fxmlLoader.getController();
Ведь твой контроллер - это по сути обычный класс, плюс он работает в другом потоке.
Теперь у тебя есть объект класса Controller
Далее в контроллере создай метод, который отвечает за то, чтобы изменять твой TextArea;
(имя метода может быть любое)
public void setTextInTextArea(String string){
//Далее ты можешь вызывать этот метод, но т.к. он вызывается из другого потока , в твоем //
//случае главного , ты должен написать так:
Platform.runLater(()->{
//Здесь уже изменяй свой TextArea
});}
Это ты уже меняешь текст в TextArea из своего метода Main
contrloller.setTextInTextArea("Твой текст"); @FXML
private TextField lineOfNumbers = new TextField();
@FXML
private Button addInfo1 = new Button();
@FXML
public static TextArea sortedNumbers = new TextArea();
Это не правильно! @FXML
private TextField lineOfNumbers ;
@FXML
private Button addInfo1 ;
@FXML
public TextArea sortedNumbers;
Это правильно!Эти переменные уже неявно проинициализированы, тебе не нужно их инициализировать, нужно лишь объявить, не нужно вешать Static на них -это плохо и некрасиво и вообще фу..UPD: Я мог допустить синтаксические ошибки кода, поэтому Sorry, под рукой нет Пк, пишу в дороге. Ну и не переписывай код бездумно, а попробуй вникнуть в суть. Прочитай про многопоточность в JavaFx, как работает FXMLLoader, про @FXML переменные в контроллере. Удачи. 
