Идея проста, ты должен получить экземпляр класса Controller

FXMLLoader fxmlLoader = new FXMLLoader(бла бла бла бла);
Controller controller = (Controller) fxmlLoader.getController();

Ведь твой контроллер - это по сути обычный класс, плюс он работает в другом потоке.
Теперь у тебя есть объект класса Controller
Далее в контроллере создай метод, который отвечает за то, чтобы изменять твой TextArea;
(имя метода может быть любое)

public void setTextInTextArea(String string){
//Далее ты можешь вызывать этот метод, но т.к. он вызывается из другого потока , в твоем //
//случае главного , ты должен написать так:
Platform.runLater(()->{
//Здесь уже изменяй свой TextArea
});}

Это ты уже меняешь текст в TextArea из своего метода Main
contrloller.setTextInTextArea("Твой текст");

@FXML
private TextField lineOfNumbers = new TextField();

@FXML
private Button addInfo1 = new Button();

@FXML
public static TextArea sortedNumbers = new TextArea();

Это не правильно!

@FXML
private TextField lineOfNumbers ;

@FXML
private Button addInfo1 ;

@FXML
public TextArea sortedNumbers;

Это правильно!

Эти переменные уже неявно проинициализированы, тебе не нужно их инициализировать, нужно лишь объявить, не нужно вешать Static на них -это плохо и некрасиво и вообще фу..

UPD: Я мог допустить синтаксические ошибки кода, поэтому Sorry, под рукой нет Пк, пишу в дороге. Ну и не переписывай код бездумно, а попробуй вникнуть в суть. Прочитай про многопоточность в JavaFx, как работает FXMLLoader, про @FXML переменные в контроллере. Удачи.

Ссылочки:
---Первая---
---Вторая---
---Третья---
---Четвертая---
---Пятая---
---Шестая---

Стоит ли статья ... своих денег(35$)

Век информации все платное - бесплатно, главное гуглить научитесь.
Удачи вам)