Разобрался. Достаточно переопределить класс PropertyEditorSupport и зарегистрировать его. В методе setAsText, куда поступает строка с датой, уже можно обрабатывать как угодно.

Выкладываю решение, на случай, если кому-то понадобится.

В контроллере необходимо добавить метод, в котором регистрируется editor:

@InitBinder
public final void initBinder(WebDataBinder binder) {
    binder.registerCustomEditor(Date.class, new UnixTimestampDateEditor(true));
}

Класс editor'а, который обрабатывает unix timestamp(основательно не тестировался, но общая идея ясна):

import org.springframework.util.StringUtils;
import java.beans.PropertyEditorSupport;
import java.util.Date;

public class UnixTimestampDateEditor extends PropertyEditorSupport {

    private boolean allowEmpty;

    public UnixTimestampDateEditor(boolean allowEmpty) {
        this.allowEmpty = allowEmpty;
    }

    public UnixTimestampDateEditor(boolean allowEmpty, Object source) {
        super(source);
        this.allowEmpty = allowEmpty;
    }
    @Override
    public void setAsText(String text) throws IllegalArgumentException {
        try {
            if (this.allowEmpty && !StringUtils.hasText(text)) {
                setValue(null);
            } else {
                long unixTimestamp = Long.parseLong(text);

                if (unixTimestamp < 0) {
                    throw new IllegalArgumentException("argument < 0 ");
                }

                Date date = new Date(unixTimestamp * 1000);

                setValue(date);
            }
        } catch (NumberFormatException pe) {
            throw new IllegalArgumentException("Could not parse date: " + pe.getMessage(), pe);
        }
    }
}

Часть проблемы была в отмеченом решении, а часть в том, что я не пометил метод-handler аннотацией @ResponseBody.