nerudo

У 90% компаний предоставляющих возможность держать домен с динамическим IP обновление адреса происходит просто через http запрос. Если роутер не умеет - настраиваете на своем домашнем компе задание, запускаемое раз в 10 минут, прописываете туда wget с правильным урлом.
Вот например, совершенно бесплатно и с примерами: www.sitelutions.com/help/dynamic_dns_clients

Да любой. Например, TP-link какой-нибудь из дешевых (в районе тыщи). У меня три таких крутятся, вроде без проблем.

ASUS WL-500 gP, уже 3 года. Не помню, чтобы его приходилось специально перезагружать, кроме как при перенастройке.