Сергей Романов

Можно. Ставите php8.4, cтавите «Ларавель», интегрируете аутентификацию, чтобы она была сквозной. Делаете лейаут из старого сайта. Делаете модели под таблицы. Новые модули делаете уже в «Ларавеле», постепенно переносите в него старые.

Проблемы, которые точно придется решать:

1. Всё время придется поддерживать два шаблона для сайта.
2. Если старый сайт использует одну точку входа index.php, а там уже определение роутинга, то придется слегка помучиться. Тогда сперва запрос должен принимать «Ларавель», искать подходящий роут, а потом, если нет совпадения, то проксировать его в старую систему (разумеется, с передачей всех данных).
3. Бардак в структуре проекта.
4. Настроить работу одновременно с двумя php (5-ой и 8-ой версии). Скорее всего придется делать два внутренних домена и перед ними ставить nginx как прокси. Можно на него попробовать и возложить проблему распределения роутов между старым и новым кодом.

Ну и по ходу наверняка еще будет много подводных камней.

В общем задача сложная, но очень интересная :)

С MySQL на PostgreSQL переходить не обязательно. Подробно об этом выше ThunderCat написал. Полностью согласен с ним.

Нельзя.
Через извращение можно.
Как устроена у вас Аутентификация? Можно попробовать вход переписать.
Как устроена самописная CMS? Можно попробовать вызвать render или вызывать страницы с другого сервера. Извращеный API.

разработчики все время советуют перейти на новые технологии а если точнее на Laravel и с MySQL на PostgreSQL чтоб сайт не только стал современным но и работал шустрее.

Переход с самописа на лару - хороший шаг, переход на постгрес нужен только если нужны конкретные задачи, решаемые постгресом лучше чем мускулем. Например, если у вас есть большой массив json данных, хранимых в соответствующих полях и требующий каких-либо выборок на основании этих полей, то есть по сути - если у вас база хранит ненормализованные сортируемые данные. В остальном выгода от перехода с мускуля на постгрес будет не видна без микроскопа.

Если база нормально спроектирована, то модели лары могут практически налету подхватить таблички, останется только написать зависимости в моделях, пошаманить контроллеры и перевести хтмл в блэйды. Задача не смотрится как "работы на год", однако сложно сказать за сколько справятся ваши прогеры, тут сильно зависит от исходных данных, типа насколько правильно спроектирована бд, что есть сложного в функционале такого, что долго переносить в ооп/мкв, насколько хорошо разбираются ваши спецы в том что было написано в легаси проекте, насколько они хорошо знают лару...

Обычно заявы по типу "мускуль гуано, надо менять на постгрес" без конкретных аргументов признак поклонников карго культа, а не профи. Так что я бы послушал аргументы для начала, а то потом окажется что там индексы только первичные на таблицах, про explain никто никогда не слышал, а выборки идут по тысяче в циклах, но виновата, конечно же, тормознутая бд.