Как анимировать строку поиска?

Но вы так и не ответили на мой вопрос.
гуглите анимации в андроид и что такое ObjectAnimator

Как добавить (переопределить) метод в activity после добавления этого метода в интерфейсе?

Ну так это вся суть интерфейсов, все методы интерфейса обязаны быть реализованы.
Может быть тебе нужен абстрактный класс, а не интерфейс?

Как анимировать строку поиска?

А вам для чего? Для крутой анимашки или для того, чтобы при появлении клавиатуры оставался виден EditText?

Как реализовать перетаскивание Drag and Drop item в listview?

newdancer RecyclerView находится в супорт библиотеках, конкретно ресайклер работает на 4+

Передать MainActivity.this в ViewPagerAdapter?

а зачем тебе передавать инстанс активити в фрагмент? у фрагмента есть метод getActivity(), который возвращает parent activity

2 фрагмента табов, разные url json?

в таких случаях надо показывать код, потому что ошибка 100% в нем, а мы не экстрасенсы

Помимо Java что надо для Android?

mitaichik: по сути любая облачная backend-платформа(они все имеют NoSQL БД), но в данном случае да, Firebase

Как создать сетку с разным размером строк/столбцов для изображений?

Не совсем понятно что ты хочешь сделать. Ты говоришь что у тебя большое количество cardView, что подразумевает интерфейс с пагинацией или прокручивающим списком, но ты говоришь, что "прокручиваемый список мне не к чему" %)

Как сложить выбранные пункты в текст.?

твой листенер возвращает только один выбранный элемент, т.е. скорее всего у тебя спиннер только с единственным выбором, а нужен множественный
нужно больше кода)