miha9

У вас не синглтон.
Аннотация @RequestScope как раз о том, что бин будет создаваться каждый раз новый в рамках запроса.
Это, кстати, не отменяет замечание Сергея о прокси-объекте: при создании контроллера внедряется этот самый прокси-объект, а он уже внутри управляет экземплярами LoginProccesor

Томкат это просот сервер сервлетов. на спринге ты пишешь приложение, которое запускается со встроенным веб серверов (вроде jetty), поэтому там не нужно поднимать отдельно веб сервер. Томкат удобен, если тебе нужно запустить несколько сервлетов, и хочешь чтобы они управлялись одним веб сервером. Не ну можно и один..

Для начала просто разберись как работает веб сервер. То есть базовый http (не html) а именно http, чтобы понимать что он делает, как работает, и уже потом как его использует джава.

Чем больше знаешь, тем больше программист. Хороший разработчик Spring знает стандарты Java EE.