После вставки вашего кода тема стала видеть дочерний CSS, но принимает во внимание не все правила.
К примеру, она стилизует форму подписки на главной странице, но отказывается менять ширину кнопки выбора валюты.
В Custom Code указана min-width:80px.
В CSS дочерней темы указано: 280px.
На сайте форма имеет ширину 80px.
Если убрать это правило из Custom Code, ширина сбросится на дефолтную (что-то около 50px). Хотя я прошу ее быть 280px (для теста).
Настройки кэширования на сервере, полагаю, базовые. Это уже пятый сайт, который я делаю, и подобных проблем не возникало. Если поменять CSS, изменения сразу отображаются при обновлении страницы.