Сам нашел ответ, благодаря ru.stackoverflow.com и многоуважаемому Darth KYL.

1. Нужно было инициировать функционал вариаций после загрузки вариативного товара в попапе:

jQuery( qv_popup ).find('form.variations_form').wc_variation_form();

и загрузить скрипт вариаций:

add_action('wp_footer', 'pmqv_wc_atc_ajax');
function pmqv_wc_atc_ajax()
{
    if(!is_singular('product')) {
        wp_enqueue_script('wc-add-to-cart-variation', '/wp-content/plugins/woocommerce/assets/js/frontend/add-to-cart-variation.js');
    }
}

2. в js скрипте, который отправляет данные на отрисовку popup окна в методе fetch добавил этот код после отправки данных:

let wooGal = document.querySelector('.woocommerce-product-gallery');
wooGal.style.opacity = 1;