martoy

1. innerHTML в данном случае не нужен. Если нужен просто текст в input - за него отвечает параметр value
2. В консоли четко написано, что place в строке let res=await eel.free(place) не определена.
3. Функция не вызвана в конечном итоге

Рабочий вариант:

<script type="text/javascript">
    async function display_weather(){
      let res=await eel.free('place?')();
      document.getElementById('location').value=res;
    }
    jQuery('#show2').on('click', function(){display_weather();});
  </script>