jquery - такой себе жс для ленивых, много длинных функций объединенных в удобные обертки, естественно найдется как много сторонников jquery (например есть куча готовых жс скриптов использующих как движок jquery), так и много поборников "чистого арийского" кода (только ванилла, только хардкор!). На самом деле все зависит от задачи, уровня владения и философии разработчика. Как таковая библиотека не особо устарела и много где используется, использовать ли ее лично вам - вопрос вкуса и убеждений. Подробнее обсуждалось
тут.
что касается AJAX - скорее всего вы не совсем понимаете в чем суть, так как это не какая-то библиотека или фреймворк, а метод взаимодействия между клиентом и сервером, по протоколу http(s), позволяющий отправлять запросы без необходимости перезагружать страницу, но из контекста страницы (читать про
XMLHttpRequest), и является неотъемлемой частью веб апи и устареет еще очень не скоро. Как некая альтернатива ему может выступать сокет соединение, но обычно области применения этих технологий разные, как и задачи, которые они выполняют.
