Документация: https://ru.vuejs.org/v2/guide/class-and-style.html

Достаточно добавить v-bind:class="'area' + index"

У вас странно сформулирован вопрос.

Если вам нужно по клику изменить класс у родительского элемента .start:
1) находите нужного родителя $(this).closest('.parent-class')
2) меняете класс через .removeClass(), .addClass(), .toggleClass()

Если вам нужно, чтобы по клику на .start у .body убирался overflow: hidden

$('.start').on('click', function () {
  $('.body').css('overflow', '');
});

Если вам нужно, чтобы по клику на .start у .body убирался style

$('.start').on('click', function () {
  $('.body').removeAttr('style');
});

Если вам нужно убрать style по условию

$(function () {
  $('.start').on('click', function () {
    if ($('.body').css('overflow') === 'hidden') {
      $('.body').removeAttr('style');
    }
  });
});