Ошибки, блин, проверяйте (
mysqli_error).
$sql = mysqli_query($connection, "UPDATE `users` SET '{$userInfo['first_name']}', '{$userInfo['last_name']}', '{$userInfo['photo_big']}'");
Почитайте на досуге что-нибудь про SQL. Синтаксис UPDATE такой:
UPDATE
col1 = value1,
col2 = value2,
...
WHERE
colN = valueN
...
"INSERT INTO `users` (`id`, `vk_link`, `first_name`, `last_name`, `avatar`, `joined`, `group_user`) VALUES (NULL, '{$userInfo['screen_name']}', '{$userInfo['first_name']}', '{$userInfo['last_name']}', '{$userInfo['photo_big']}', CURRENT_TIMESTAMP, NULL)")
id, небось, AUTOINCREMENT? Не надо ее в таком случае включать в INSERT
... WHERE vk_link='{$userInfo['screen_name']}'
По тонкому льду ходите