Сначала были Промисы и девелопер понял что это хорошо. Но девелопер задумался, а можно ли перестать писать then().then()... Но async\await еще не было, тогда девелопер взял функцию генератор смешал с промисом и родилось - co Это выглядело немного страшненько (имхо), но хайп был, который наплодил много статей почему это спасение - порой слог был такой уверенный, что вводил в заблуждение. А потом появились async\await - которые промисы, но без then().then().

Промисы это промисы, их надо понять в любом случае. Зная промисы, async\await понимается быстро и полностью.
Генераторы (то что вы имеете в виду) это самописный сахар для реализации async\await подобного поведения до того как появился async\await. Т.е. это не реализация языка, а просто код обертка.
Async\await - это уже реализация языка, которая основана на промисах.

Потяните за верхнюю границу окна с информацией вниз

this.start = function(){
    // останавливаем репликацию
    return this.stopAndClearExistsReplication()
        // удаляем локальную БД
        .always(function(){ return this.deleteLocalDB() })
        // создаём локальную БД
        .always(function(){ return this.createLocalDB() })
        // ставим БД на репликацию
        .done(function(){ return this.addReplicationDocument() })
        // ставим репликацию на отслеживание
        .done(function(){ return this.replicationMonitoring() });
};

По примеру похоже что вы в каждом предыдущем методе bind`ите правильный this так что можно вынести в функции выше.

this.start = function(){
    // останавливаем репликацию
    return this.stopAndClearExistsReplication()
        // удаляем локальную БД
        .always(deleteLocalDB)
        // создаём локальную БД
        .always(createLocalDB)
        // ставим БД на репликацию
        .done(addReplicationDocument)
        // ставим репликацию на отслеживание
        .done();
};

function deleteLocalDB(){ return this.deleteLocalDB() }
function createLocalDB(){ return this.createLocalDB() }
function addReplicationDocument(){ return this.addReplicationDocument() }
function replicationMonitoring(){ return this.replicationMonitoring() }

Если доступны стрелочные функции и this один на все методы

this.start = function(){
    // останавливаем репликацию
    return this.stopAndClearExistsReplication()
        // удаляем локальную БД
        .always(() => this.deleteLocalDB())
        // создаём локальную БД
        .always(() =>  this.createLocalDB())
        // ставим БД на репликацию
        .done(() => this.addReplicationDocument())
        // ставим репликацию на отслеживание
        .done(() =>  this.replicationMonitoring());
};

Если есть промисы и имена методов не требуют капитанских комментариев

this.start = function(){
    return Promise.resolve()
        .then(() =>  this.stopAndClearExistsReplication())
        .always(() => this.deleteLocalDB())
        .always(() =>  this.createLocalDB())
        .done(() => this.addReplicationDocument())
        .done(() =>  this.replicationMonitoring());
};