Как записать в локальный JSON?

CryNet, в базовом виде из браузера никак. Можно написать расширение
для браузера с NodeJS, которое будет работать с ФС.

Как записать в локальный JSON?

CryNet, это и не нужно. Браузер непредназначен для работы с файлами. Если хотите сделать веб приложение работающее без бекенда - Electron вам в помощь. Но это будет исполняться не в браузере, в ос как отдельное приложение.

Как записать в локальный JSON?

Браузер - песочница изолирующая среду выполнения джаваскрипта от ОС.

Как сделать так что бы блок брал размеры от расширения экрана?

Учите CSS прежде чем советовать. Width берет размер от родителя