Проблема решена.
Не нужно было использовать метод WP_Query в файлах типа arhive-news.php.
news - это заданная новая таксономия.
Нужно было использовать простой вывод поста (post).
<?php
// Цикл
if ( have_posts() ) {
while (have_posts() ):
the_post();
?>
<div class="arhivenews__block">
<a href="<?php echo get_permalink(); ?>" target="_blank">
<div class="arhivenwes__img">
<?php echo get_the_post_thumbnail(get_the_ID(), array(350, 99999)); ?>
</div>
<div class="arhivenews__date">
<?php echo get_the_date('j F Y'); ?>
</div>
<div class="arhivenews__title">
<?php the_title(); ?>
</div>
</a>
</div>
<?php
endwhile; ?>
</div>
<?php
the_posts_pagination();
} else {
// Постов не найдено
}
// Возвращаем оригинальные данные поста. Сбрасываем $post.
wp_reset_postdata();
?>
И тогда пагинация the_posts_pagination(); работает правильно и для "Записи" (т.е. статьи в блог) и для новых типов записи (таксономии).