ну во первых
dmContanierIcon.quAdmissionProduct.SQL.Text := 'UPDATE dbt_AdmissionProduct SET p_id = '+IntToStr(varFirstRecId)+' WHERE p_product = "'+varArticleUpdateId+'"';

было бы корректнее записать как:

dmContanierIcon.quAdmissionProduct.SQL.Text := UPDATE dbt_AdmissionProduct SET p_id = :varFirstRecId WHERE p_product = :varArticleUpdateId;
dmContanierIcon.quAdmissionProduct.ParamByName('varFirstRecId').AsInteger := varFirstRecId;
dmContanierIcon.quAdmissionProduct.ParamByName('varArticleUpdateId').AsString := varArticleUpdateId;
dmContanierIcon.quAdmissionProduct.ExecSQL;

а по поводу ошибки, то зачем вам после Update делать Next? метод ExecSQL не возвращает Dataset. об этом Delphi вам и сообщает.