i_goodwin

У меня как-то так отправляет:

$url  = $apiURL. "sendPhoto?chat_id=" . $chatID";
	$post_fields = array('chat_id'   => $chatID,
	'caption' => 'Подпись под картинкой',
        'photo'     => new CURLFile(realpath('/img/1.png'))
	);
	$ch = curl_init(); 
	curl_setopt($ch, CURLOPT_HTTPHEADER, array(
        "Content-Type:multipart/form-data"
	));
	curl_setopt($ch, CURLOPT_URL, $url); 
	curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER, 1); 
	curl_setopt($ch, CURLOPT_POSTFIELDS, $post_fields); 
	$output = curl_exec($ch);

если такой адрес может начинаться с 77.ххх.ххх.ххх (так же, как и белый)

Не может
Диапазон серых адресов известен очень хорошо:

#       10.0.0.0        -   10.255.255.255
#       172.16.0.0      -   172.31.255.255
#       192.168.0.0     -   192.168.255.255

Все.

Все остальные адреса - белые. То, что при этом что-то недоступно - это фокусы ростелекома.

Вопрос в том, каким образом выявить признак "серости" адреса

Да элементарно - если ваши сервисы доступны, значит белый, иначе серый.

если такой адрес может начинаться с 77.ххх.ххх.ххх (так же, как и белый).

Не может. Не конечно теоретически можно засунуть белый адрес за NAT, но никто в здравом уме так делать не будет.
Поэтому определяется элементарно.
Серые адреса начинаются на -
10
100
127
169
172
192
Все остальные - белые.

Скорее всего вы не там смотрите адрес.
Единственное место где можно смотреть адрес - интерфейс устройства которое получило адрес.
А то некоторые люди умудряются смотреть свой адрес на ресурсах вроде 2ip.ru... Не уподобляйтесь таким людям.

Адрес, начинающийся на 77 - белый. Список серых адресов фиксированный, официально задокументированный в RFC и вовсе не тайна. По ссылке смотрите адреса в таблице п.3 с пометкой "Private-Use Networks".
Увидеть реально выданный адрес вы можете только на роутере, т.к. если роутер получает серый адрес, значит для выхода в инет трафик должен проходить через NAT провайдера, где адрес подменяется и в инете вы уже с белым адресом в любом случае.
Обычно роутеры поддерживают не только веб управление, но и SSH и возможно telnet. Используя их вы можете скриптом получать адрес, проверять его и если он серый, то другим скриптом ребутить роутер (или даже не ребутить, а сбрасывать соединение и устанавливать снова). То же самое можно сделать и через веб интерфейс, но формировать свои HTTP запросы и парсить HTTP ответы роутера более утомительная задача, чем вариант с ssh/telnet.