Николай

js не может добавлять что-либо в url.
Как вариант можно сделать переход по ссылке с каким-либо параметром, и проверив этот параметр "скролить" к нужному месту.

Не совсем понял что Вам надо, но смею предположить: замените '.second-menu a' на объект, по которому должен быть клик, и добавьте атрибут на который мы должны переходить.
Например, если вы просто вместо ссылки вставили картинку, то должно быть что-то вроде:

...
<ul class="second-menu">
    <li><img src="img/img1.jpg" data-nav  data-href="#marman"></li>
    <li><img src="img/img2.jpg" data-nav  data-href="#metal"></li>
    <li><img src="img/img3.jpg" data-nav  data-href="#muse"></li>
</ul>
...

$('.second-menu img').on('click', function(event) {
    event.preventDefault();
    
    /* Это оставим для ссылок 
    var frmId = new URL(this.href).hash;
    */
    // Получим, куда нам идти
    var frmId = $(this).data('href');

    menuNavigator.navigate(frmId);
    /* И это тоже для ссылок
    $('.second-menu a.active').removeClass('active');
    $(this).addClass('active');
    */
});

Если правильно понимаю, то:

<input name="vu[]" placeholder="name1">
<input name="vu[]" placeholder="name2">

$arr = $_POST['vu'];
foreach($arr as $val) {
    # Do what you want
}

Дата на экран выводится вся (до конца недели), а цикл while идет только один раз

Логично, они у вас никак и не связаны, поэтому и выполняются по отдельности.

while идет только один раз

А сколько ему идти?

P.S. у вас две серьёзные ошибки:
1) или я ошибаюсь, или вы и правда не экранируете/очищаете вводимые данные.
2) вы используете сильно устаревшую библиотеку для доступа к бд. Рекомендую PDO, или mysqli