Николай

Ничего специфического, обычный JS.
Вот хороший мануал: learn.javascript.ru

<style>
body { font-size: 16px; }
.row { font-size: 0; }
.row .col-4 {
  display: inline-block;
  font-size: 1rem;
  width: 33.3%;
}
</style>

<div class="row">
  <div class="col-4">1</div>
  <div class="col-4">2</div>
  <div class="col-4">3</div>
</div>

Вы переопределяете переменную $mail:

...
$mail = new PHPMailer;
...
$mail = $_POST['user_mail'];
...

Добавлять стиль active к активному элементу nav-item

Смотрите консоль, ищите JS ошибку до этого.
Ибо ваш скрипт работает как надо.

можно как-то расширить возможности index of/, поменять дизайн и добавить "счетчик" посмотров/скачиваний файла

Нет.
Можно поменять внешний вид, добавить иконки.
Так же, в теории, можно попробовать ограничивать доступ к папкам с помощью .htaccess +.htpasswd.
Но это, мне кажется, максимум.

А вы пробовали искать? =)

А фрейм с другого домена? тогда ничего не выйдет

Смотреть кодировку, обновить плагин, etc

...
 success: function(msg) {
        if(msg == 'ok') {
            ...
        }
        else {
            ...
        }
...

У вас как минимум не правильная проверка.
Первая переменная - это возвращаемые данные, а вот вторая - уже статус выполнения.

Ну и есть же отдельная функция error, которая будет вызвана в случае неудачного завершения запроса к серверу.

Примерно так:

if ($data['pass'] < 8) { 
  $errors['wrong_pass'] = "Пароль должен содержать более 8-ми знаков!";
}

и в необходимом месте указать

<div class="show_error_here">
<?php if (isset($errors['wrong_pass'])) echo $errors['wrong_pass']; ?>
</div>

Ну, если вы хотите прям привязаться к чёрному span`у, то как-то так:

var a = 0;
$('span').each(function(){
  
  $(this).click(function () {
    if($(this).css('background-color') == 'rgb(0, 0, 0)') a = 0;
    
    alert(a);
    a++;
  });

});

Эти три параметра

background-image: url(../images/tym2.jpg);
background-position: top center;
background-attachment: fixed;

замените на
background: url("../images/tym2.jpg") top center;

Вам необходимо добавить PHP окружение:
Скачать и добавить (Settings -> Languages & Frameworks -> PHP) интерпретатор.

Открывать файлы: правый клик -> Open in browser -> ...

P.S. Но вообще лучше работать с локальным сервером.