insert delayed into tmp_table
По крону брать все записи из временной таблицы, считать количество записей и делать апдейт счетчика

Почему это быстрее?
Вставка строчки не блокирует твою запись в таблице. Вызов апдейта будет лишь по крону. Такое решение есть в XenForo

нельзя писать без скобочек OR и AND в одном месте.

SELECT * FROM `news` WHERE (`recipient` = 'user' OR `recipient` = 'all') AND `id`  NOT IN (SELECT `id_news` FROM `viewed_news` WHERE `id_user` = '1') ORDER BY `news`.`date` DESC

Давайте начнём с того, как должен выглядеть обработчик формы:
1. Событие должно вешаться на форму, а не на кнопку - $('#feedback').on('submit', ...)
2. Оставляете строчку preventDefault
3. У каждого инпута ставите атрибут name
4. В параметре data пишите $(this).serializeArray() - все инпуты с нейм будут сериализованы в массив и отправлены на сервер, где будут видны через $_POST

Дальше через var_dump в php смотрите значения переменных, скул выдаст ошибку, если что-то пойдёт не так.