как писали уже выше, в data необходимо передавать объект.
А jQuery.serialize() делает GET-параметры, от того GET запрос в вашем примере прекрасно отработает.

Если вам лень разбираться что и как, предлагаю такой код:

var str = $("#register_user").serialize();
var temp = str.split('&');
var request = {};
for (var i = 0; i < temp.length; i++) {
  var pieceRequest = temp[i].split('=');
  request[pieceRequest[0]] = pieceRequest[1];
}

и в ваш аякс запрос data передавать request вместо str

$(".blok_color_mini>ul>li").hover(function(e) {
    $(e.target).closest("img").attr("src", $(this).data("url"));
  });

вроде вот так должно заработать

Если что-то не выходит - смотрите документацию по closest и разбирайтесь сами :)
https://api.jquery.com/closest/

не очень понял вопрос, не знаю что такое select2, но у многих ui-библиотек, есть такие мульти-дропдауны.
В последний раз пользовался вот этим

Ну или можно было понять вот так:

var a = '(5)';
var b = '(22)';
var myRe = /\d+/;
var sum = +myRe.exec(a)[0] + +myRe.exec(b)[0];
console.log(sum); //27

Ну или если не уверены что число будет найдено, до добавьте проверку test