Евген

Ну как бэ
Просто выбери его как дэфлотный в Device and Printers на каждом ПК, и все автоматом будет печататься

Есть два варианта, прозрачный прокси-сервер, и не прозрачный прокси-сервер. Что бы работал HTTPS без доп настроек это не прозрачный прокси-сервер, нужно будет подходить к каждому компу и руками указывать в системе или в браузере прокси-сервер, если же хостов слишком много то говорим DHCP-серверу что бы давал в качестве шлюза по умолчанию IP-адрес прокси-сервера, и в интернете полно гайдов как подружить squid и htpps если используется прозрачный прокси-сервер.

UPD0:

подозреваю что будет много лишней информации

Много лишней информации не бывает

Похоже что у провайдера твой роутер за NAT-ом, это значит что ты на роутер получаешь серый ИП, а не белый
И вот уже об этом говорили ТЫЦ, и там тоже говорили что уже об этом говорили)