Андрес

Судя по ссылкам ЧПУ уже включен. в настройках "Система - общие настройки - Перенаправление URL". Включение этого пункта добавит запись в файл ".htaccess"
Обязательно навести курсор на "Перенаправление URL" и прочитать подсказку. Если все требование соблюдены ссылки будут выглядеть как вы хотите.

Тут зависит как не работает.
Гадать можно долго. Если с правами на хостинге все в норме и нет ограничении по объему. Нужно проверить правильность адреса папки "TMP". если все ок. То полностью переписать все файлы с исходников JOOMLA кроме папки INSTAL. Разумеется перед этим сделать архивную копию. В большинстве случаев эти шаги решают проблему. Если это не поможет то нужно больше данных.